Expresiones matemáticas

Expresiones matemáticas  

• El rotacional

El rotacional de una función vectorial es el producto vectorial del operador Nabla con una función vectorial:

Rotacional, Cilíndrico

El rotacional en un sistema de coordenadas polar cilíndrica, expresado en la forma de un determinante es:

Rotacional, Esférico

El rotacional en un sistema de coordenadas polar esférica, expresado en la forma de un determinante es:

• Divergencia 

La divergencia de un campo vectorial en coordenadas rectangulares se define como el producto escalar del operador nabla por la función

La divergencia es una función escalar del campo vectorial. El teorema de la divergencia es una herramienta matemática importante en la Electricidad y el Magnetismo. 

Aplicaciones de Divergencia

La divergencia de un campo vectorial es proporcional a la densidad de las fuentes puntuales del campo. En la ley de Gauss para el campo eléctrico

la divergencia da la densidad de cargas puntuales. En ley de Gauss para el campo magnético

el valor cero de la divergencia implica que no hay fuentes puntuales de campo magnético.

Divergencia. Varias Coordendas

Comparada con la divergencia en coordenadas rectangulares:

En coordenadas polar cilíndrica:

y en coordenadas polar esférica:

• Gradiente 

El gradiente es una operación vectorial, que opera sobre una función escalar, para producir un vector cuya magnitud es la máxima razón de cambio de la función en el punto del gradiente y que apunta en la dirección de ese máximo. En coordenadas rectangulares el gradiente de la función f(x,y,z) es: 

Si S es una superficie de valor constante, para la función f(x,y,z), entonces el gradiente sobre la superficie, define un vector que es normal a la superficie.

Aplicaciones Transferencia de Calor.Conducción

La divergencia del gradiente se llama el Laplaciano. Se usa ampliamente en física.

• Ecuación de la impedancia

En los circuitos de corriente alterna (AC) los receptores presentan una oposición a la corriente que no depende únicamente de la resistencia óhmica del mismo, puesto que los efectos de los campos magnéticos variables (bobinas) tienen una influencia importante. En AC, la oposición a la corriente recibe el nombre de impedancia (Z), que obviamente se mide en Ω. La relación entre V, I, Z, se determina mediante la "Ley de Ohm generalizada".

 

donde:

- I: intensidad eficaz en A

- V: tensión eficaz en V.

- Z: impedancia en Ω.

 

La impedancia puede calcularse como:

donde:

- Z: impedancia en Ω.

- R: resistencia en Ω.

- X: reactancia en Ω.

• Adaptación de impedancia 

 Electrónica. La adaptación o emparejamiento de las impedancias, consiste en hacer que la impedancia de salida de un origen de señal (como puede ser una fuente de alimentación o un amplificador) sea igual a la impedancia de entrada de la carga a la cual que se conecta.

El objetivo es obtener la máxima transferencia de potencia y aminorar las pérdidas de potencia por reflexiones desde la carga; sólo aplicable cuando ambos dispositivos son lineales.

En ocasiones en los circuitos eléctricos, se necesita encontrar la máxima transferencia de voltaje, en lugar de la máxima transferencia de potencia. En estos casos lo que se requiere es encontrar el valor de impedancia donde la impedancia de carga sea mucho más grande que la impedancia de la fuente.